Polyhedra mahazatra: singa, symmetry ary faritra

Tena tsara tarehy ny geometry, toy ny algebra, izay tsy voatery mazava foana hoe inona ary nahoana ianao no mieritreritra, dia manome ny tanjona hita maso. Ity tontolo mahavariana amin'ny vatana samihafa ity dia voaravaka polyhedra mahazatra.

Fampahalalana ankapobeny momba ny polyhedra mahazatra

Araka ny voalazan'ny maro, polyhedra mahazatra, na antsoina hoe vatan'ny Platonic, dia manana toetra miavaka. Betsaka ny hevitra momba ny siantifika mifandray amin'ireo zavatra ireo. Rehefa manomboka mianatra ireo vatana ireo ianao, dia fantatrao fa tsy fantatrao na inona na inona momba ny foto-kevitra toy ny polyhedra mahazatra. Ny fanolorana ireo zavatra ireo any an-tsekoly dia tsy mahaliana foana, ka maro no tsy mahatsiaro akory ny antsoin'izy ireo. Ho fahatsiarovana ny ankamaroan'ny olona dia ny sisa ihany no tavela. Tsy misy ny vatana ao amin'ny jeometria manana fahalavorariana tahaka ny polyhedra mahazatra. Ny anarana rehetra avy amin'ireto vatom-piraketana ireto dia avy amin'ny Ancient Greece. Ny dikan'ny tarehin'izy ireo dia ny tetrahedron - tetrahedral, hexahedron - hexahedral, octahedron - octahedral, dodecahedron - roambinifolo, icosahedron - roambinifolo. Ireo vatan'olombelona rehetra ireo dia manana ny toerana manan-danja indrindra amin'ny fiheveran'i Plato an'izao tontolo izao. Ny efatra amin'izy ireo dia maneho singa iray na santionany: tetrahedron - afo, icosahedron - rano, kibay - ny tany, octahedron - rivotra. Ny dodecahedron dia manamboatra izay rehetra misy. Izy no heverina ho lohalaharana, satria mariky ny an'izao tontolo izao izy.

Famolavolana ny foto-kevitry ny polyhedron

Ny polyhedron dia fitambarana maromaro maromaro misy polygona toy izao:

• Ny lafiny tsirairay amin'ny iray amin'ireo polygones dia mitovy amin'ny lafiny iray ihany amin'ny lafiny maro amin'ny lafiny iray;
• Avy amin'ny tsirairay amin'ny polygons dia azonao atao ny mankany amin'ny hafa mandalo ny vondron'olona mifanila aminy.

Ny endriky ny polygones misy ny polyhedron dia ny endriny, ary ny sisiny dia ny sisiny. Ny verenin'ny polygônes dia ny verin'ny polygônes. Raha toa ny hevitra momba ny polygon iray dia takatr'izy ireo fa misy tsipika maromaro maromaro mihidy, dia tonga amin'ny famaritana mitovy amin'ny hoe polyhedron ny iray. Raha toa ka midika hoe ampahany amin'ny fiaramanidina izay voafatotry ny tsipika tapatapaka io teny io, dia ilaina ny mahatakatra ny endriny ahitana ampahany maro. Ny polyphède convex dia vatana mipetraka amin'ny lafiny iray amin'ny fiaramanidina mifanaraka amin'ny tarehiny.

Famaritana iray hafa momba ny polyhedron sy ny singa misy azy

Ny polyhedron dia tandindona misy polygônes izay manondro vatana geometrika. Izy ireo dia:

• tsy convex;
• Convex (tsara sy diso).

Ny polyhedron tsy refesi-mandidy dia polyhedron mihevi-pandrefesana miaraka amin'ny mari-pahaizana ambony indrindra. Elements of polyhedra tsy tapaka:

• Tetrahedron: 6 rantsana, tarehy 4, andrefana 5;
• Hexahedron (kibay): 12, 6, 8;
• Dodecahedron: 30, 12, 20;
• Octahedron: 12, 8, 6;
• Icosahèdon: 30, 20, 12.

Euler's theorem

Izy io dia mamaritra ny fifandraisana misy eo amin'ny sisin'ny sisiny, ny verindroa, ary ny tarehimarika topologically mitovy amin'ny sehatra iray. Manampy ny isa maromaro sy ny tarehimarika (B + D) ho an'ny polyhedra mahazatra ary mampitaha azy amin'ny isa maromaro, ny iray dia afaka mametraka rafitra iray: ny habetsahan'ny tarehin'ny tarehimarika sy ny zoro dia mitovy amin'ny isa (P) dia nitombo tamin'ny 2. Ny iray dia azo avy amin'ny formulael tsotra:

• B + F = P + 2.

Ity fitsipika ity dia marina ho an'ny polyhedra mahazatra.

Famaritana fototra

Ny foto-kevitry ny polyhedron tsy tapaka dia tsy azo faritana amin'ny fehezanteny iray. Maivan-danja kokoa izy io. Ho an'ny vatana iray azo raisina ho toy izany, ilaina ny mifanaraka amin'ny famaritana maromaro. Noho izany, ny vatana ara-jeômetika dia ho polyadron tsy tapaka rehefa tanteraka ireto fepetra manaraka ireto:

• Efa mahazatra izany;
• Mitovy ihany ny sisin-dambany amin'ny elany;
• Ny endriny rehetra dia fitambaram-batana tsy miovaova mitovy;
• Ny fitambaran'ny dihedral rehetra dia mitovy.

Properties of polyhedra tsy tapaka

Misy karazany 5 karazana polyhedra mahazatra:

1. Cube (hexahedron) - manana angom-piraikitra eo amin'ny tendron'ny 90 ° izy io. Manana angom-panafody 3 izy io. Ny habetsaky ny angadin-drakitra amin'ny tendrony dia 270 °.
2. Ny tetrahidra dia teboka miisa eo amin'ny tendron'ny 60 °. Manana angom-panafody 3 izy io. Ny habetsaky ny angadinan'ny planarena ao amin'ny vertex dia 180 °.
3. Ny octahedron dia mari-pana miakatra eo amin'ny tendron'ny 60 °. Manana angom-pamantarana 4-zoro izy io. Ny habetsahan'ny angadra efa misy eo amin'ny tampony dia 240 °.
4. Ny dodecahedron dia arofanina miolakolaka eo amin'ny tendron'ny 108 °. Manana angom-panafody 3 izy io. Ny habetsaky ny angadin-drakitra amin'ny planeta dia 324 °.
5. Icosahedron - misy teboka maranitra eo an-tampony - 60 °. Manana mari-pamantarana 5 izy io. Ny habetsaky ny angadinan'ny planarena ao amin'ny vertex dia 300 °.

Faritra amin'ny polyhedra ara-dalàna

Ny faritra afovoan 'ireo vatom-pamokarana (S) ireo dia novaina ho faritra boribory mahazatra miisa amin'ny tarehiny (G):

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

Ny habetsahan'ny polyhedron tsy tapaka

Io sanda io dia novolavolaina tamin'ny famenoana ny habetsaky ny piramida ara-dalàna, izay eo ambanin'ny fotony dia ny polygon tsy tapaka, ny tarehimarika, ary ny haavony dia ny radius of the sphere inscribed (r):

• V = 1: 3rS.

Ny volan'ny polyhedra tsy tapaka

Tahaka ny vatan'ny vatana hafa, ny polyhedra ara-dalàna dia manana volavolam-pandrefesana. Ireto ambany ireto ny formulas izay ahafahana mamaritra azy:

• Tetrahedron: α x 3 √2: 12;
• Octahedron: α x 3²2: 3;
• icosahedron; Α x 3;
• Hexahedron (kib): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
• Dodecahedron: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elements of polyhedra tsy tapaka

Ny hexahedron sy octahedron dia vatana geometrika roa. Raha lazaina amin'ny teny hafa, dia azo raisina avy amin'ny tsirairay izy ireo amin'ny hetsika fa ny ivon'ny gravité ny tarehin'ny iray dia raisina ho andaniny ny andaniny, ary ny mifamadika amin'izany. Ary koa, ny icosahedron sy ny dodecahedron dia roa. Tetrahidra tokana ihany no misy azy. Amin'ny alalan'ny Euclid, afaka mahazo dodecahedron avy amin'ny hexahéron ny olona iray amin'ny fananganana "tafo" eo amin'ny tarehin'ny kibay. Ny sasantsasany amin'ny tetrahidra dia misy tsipika 4 ao amin'ny kibay tsy mifanaraka amin'ny pairs amin'ny sisiny. Avy amin'ny hexahedron (cub) dia afaka mahazo polyhedra mahazatra hafa. Na dia eo aza ny zava-misy fa tsy tapaka polygons misy hita isa, tsy tapaka polyhedra, misy afa-tsy 5.

Radii of polygons tsy tapaka

Amin'ny vatan'olombelona tsirairay dia mifamatotra ireo sehatra 3 mifantoka amin'ny fifandraisana:

• Voasoratra, mandalo ao amin'ny efitranony;
• Voasoratra izy io, mampihetsi-po ny endriny tsirairay eo afovoany;
• Afovoany, manohina ny taolam-paty rehetra eo afovoany.

Ny filazalazana momba ilay faritra nofaritana dia nozaraina araka izao manaraka izao:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Ny toetr'andro eo amin'ny sora-baventy nosoratana dia novolavolain'ny rindrambaiko:

• R = a: 2 × ctg π / p × tg θ: 2,

Raha θ dia ny teboka roa mifanila eo anelanelan'ny endrika mifanila aminy.

Ny votoatiny azo atonta amin'ny fampahalalam-baovao dia:

• Ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

Raha h misy sanda 4.6, 6.10 na 10. Ny isa misy ny radii voalaza sy nosoratana dia mifangaro amin'ny p sy q. Izy io dia alaina amin'ny alalàn'ny formula:

• R / r = tg π / p × tg π / q.

Symmetry amin'ny polyhedra

Ny sintimetrihan'ny polyhedra ara-dalàna dia miteraka ny tombontsoa lehibe amin'ny vatana. Azo heverina ho toy ny fihetsik'ireo vatana eo amin'ny habakabaka, izay mamela ny kintana mitovy, ny tarehy sy ny sisiny. Amin'ny teny hafa, eo ambanin'ny fihetsika fanovàna ny sisimetatra, ny sisiny, ny vertex, na ny tarehiny dia mitazona ny toerany tany am-piandohana, na mandroso mankany amin'ny toerana tany am-piandohana faribolana hafa, peo na tarehimarika hafa.

Ny singa mifangaro amin'ny polyhedra ara-dalàna dia manana ny karazana vatana toy izany. Eto izahay dia miresaka momba ny fanovana ny toetra, izay mamela ny iray amin'ireo teboka amin'ny toerana voalohany. Noho izany, rehefa manodina ny prisma maro dia maro ny sombiny. Ny iray amin'izy ireo dia azo zaraina ho vokatry ny fisaintsainana. Ny simitera, izay vokatry ny fisainan-dry zareo dia antsoina hoe tsipika. Raha toa ka vokatry ny fisainana tsy dia mampihetsi-po, dia antsoina hoe "inverse" izany. Noho izany, ny fihodinana rehetra manodidina ny tsipika dia maneho mivantana mivantana. Ny fitaratry ny polyhedron dia ny soritry ny angona.

Mba hahatakarana bebe kokoa ny singa symmetry amin'ny polyhedra tsy tapaka dia afaka maneho ohatra amin'ny tetrahedron isika. Ny tsipika izay handeha hamaky iray amin'ireo vertices sy ny afovoan- voafaritra endrika, sitraponao, sy ny alalan 'ny afovoan-sisin'ny mifanohitra amin'izany. Ny tsirairay amin'ireo fihodinana amin'ny 120 sy 240 ° manerana ny tsipika dia avy amin'ny isa maromaro misy ny tetrahidra. Satria manana vina sy tarehy efatra izy, dia misy sombina valo mivantana. Ny iray amin'ireo tsipika mahitsy mamakivaky ny afovoan'ny taolam-paty ary ny foitran'io vatana io dia mamakivaky ny tendrony mifanohitra aminy. Ny fihodinan'ny 180 °, antsoina hoe antsasakadiny, manodidina ny tsipika dia ny sintomina. Koa satria misy tetrahidra manana elanelana roa, dia misy telo hafa koa mivantana. Araka ny voalaza teo aloha dia azo jerena fa ny totalim-piainan'ny singa mivantana, anisan'izany ny fanovàna mitovy, dia hahatratra roa ambin'ny folo. Tsy misy singa mivantana hafa ho an'ny tetrahidrona, fa misy 12 sy andrana mivadika. Noho izany, ny tetrahidra dia miavaka amin'ny 24 symmetries. Ho an'ny mazava, azonao atao ny manangana modely amin'ny tetra ordinatera tsy tapaka avy amin'ny karatra ary ho azo antoka fa tena manana sela 24 symmetries io vatana io.

Ny dodecahedron sy ny icosahedron no vatana indrindra akaiky indrindra amin'ny sehatra. Ny icosahedron dia manana tarehimarika be indrindra, ny arofanina lehibe indrindra, ary ny akaiky azy indrindra dia mety ho any amin'ny sehatra nafenina. Ny dodecahedron dia manana hadisoana kely malemy indrindra, ny tanjany lehibe indrindra eo amin'ny seza. Azony atao ny mameno ny faritra nofaritany araka izay azo atao.

Famoahana polyhedra

Ny vondrom-bavaka marobe amin'ny famafana, izay niraisantsika rehetra nandritra ny fahazazana, dia manana hevitra marobe. Raha misy fanangonana polygones, ny andaniny tsirairay dia hita amin'ny lafiny iray amin'ny polyhedron, dia tokony hifanaraka amin'ny fepetra roa ny famantarana ny sisiny:

• Ny isam-bolana dia azo atao ny mamakivaky polygones manana ny mari-pamantarana;
• Ny antokon-tena fantatra fa tsy maintsy manana halava mitovy.

Izy io dia ny fanangonana polygones izay mameno ireo fepetra antsoina hoe famolavolana polyhedron. Ny tsirairay amin'ireny vatana ireny dia misy maromaro amin'izy ireo. Ohatra, ny kibatra dia manana 11 isa.